Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - wykres funkcji kwadratowej z parametrem. Dla jakiej wartości parametrów \(m\) i \(n\) wierzchołkiem paraboli o równaniu \(y=x^2-mx+n+1\) jest punkt \(A(2,1)\)? Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną. Sporządzić wykres funkcji . Pokaż rozwiązanie Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej korzystając z postaci iloczynowej i miejsc zerowych funkcji. Drugim sposobem łatwego odczytywania wzoru funkcji kwadratowej z wykresu, jest wykorzystanie postaci iloczynowej tej funkcji, tj: gdzie to miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Odczytujemy z wykresu funkcji jej miejsca zerowe, i podstawiamy do Rozwiązanie zadania z matematyki: Największą wartością funkcji kwadratowej f(x)=-2(x+3)^2-4 jest {A) 3}{B) -2}{C) -4}{D) 4}, Zbiór wartości, 4960600 Rozwiązanie zadania z matematyki: Wykres funkcji kwadratowej f(x)=(1-m)x^2-mx+m^2 przecina oś Ox w punktach A i B, które leżą po dwóch różnych stronach osi Oy. Wyznacz tę wartość parametru m, dla której iloczyn odległości punktów, Inne, 8972309 Wyznacz wszystkie wartości parametrów dla których reszta z dzielenia wielomianu przez wielomian jest równa . Rozwiązanie 1581087. Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji . Rozwiązanie 1606521. Podobne zadania. Funkcje/Szkoła średnia - Treści i pełne rozwiązania zadań szkolnych i egzaminacyjnych z matematyki, 16. Rozwiązanie zadania z matematyki: Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f(x)=x^2-4 jest{A) <-4,+∞)}{B) <-2,+∞)}{C) <2,+∞)}{D) <4,+∞)}, Zbiór wartości Funkcja kwadratowa. Wykresem funkcji kwadratowej. jest parabola. Jej ramiona są skierowane w górę gdy i w dół dla . Jeżeli to funkcja jest liniowa. Parabola ma dwa rodzaje punktów szczególnych – wierzchołek i miejsca zerowe (punkty przecięcia z osią ). Miejsca zerowe to rozwiązania równania. Zadanie 889. W pewnym prostokącie różnica między długością boków wynosi . Niech oznacza długość krótszego boku. Funkcja, która opisuje pole tego prostokąta to: Zobacz rozwiązanie. Matura podstawowa. Funkcja kwadratowa. 0 komentarzy. Zadania z funkcji kwadratowej. autor: figlasz » 12 kwie 2015, 18:31. 1) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej y= −2x2 − 2 x 2 -3x+2 w przedziale domkniętym <-1,2>. 2) Rozwiąż równanie: 2x2 2 x 2 +3x=35. 3) wyznacz, dla jakiego c równanie kwadratowe x2 x 2 -cx+4=0, gdzie c należy do R, ma dokładnie jedno Zbiór zadań - funkcja liniowa i kwadratowa w praktyce. Zbiór zadań do kursu: Matura podstawowa od 2023. Zadanie 1. matura 2023. Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu – przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odległości xk = 7,01 m, licząc od środka piłki ta3ZZPP. Własności funkcji kwadratowej. Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Związek między wzorem funkcji kwadratowej w postaci ogólnej a wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej. Szkicowanie wykresów funkcji kwadratowych. Odczytywanie własności funkcji kwadratowych na podstawie wykresów. Najmniejsza oraz największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym. Badanie funkcji kwadratowej - zadania optymalizacyjne. Równania kwadratowe. Równania prowadzące do równań kwadratowych. Nierówności kwadratowe. Równania i nierówności, w których niewiadoma występuje pod znakiem pierwiastka kwadratowego. Zadania prowadzące do równań i nierówności kwadratowych. Wzory Viete`a Równania i nierówności kwadratowe z parametrem. Wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną. Równania i nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną. Równania kwadratowe z wartością bezwzględną i parametrem. Funkcja kwadratowa \(y=x^2+bx+c\) jest malejąca dla \(x\in (-\infty ;2 \rangle\) a zbiorem jej wartości jest przedział \(\langle -4;\infty )\). Postać kanoniczna tej funkcji opisana jest wzorem A.\( f(x)=(x-2)^2-4 \) B.\( f(x)=(x+2)^2+4 \) C.\( f(x)=(x+4)^2+2 \) D.\( f(x)=(x-4)^2+2 \) ADwie funkcje \(f(x)=2x-1\) oraz \(g(x)=-x^2\) określone są w zbiorze \(\mathbb{R}.\) Wówczas wykres funkcji \(h\) określonej wzorem \(h(x)=f(x)+g(x)\) jest przedstawiony na rysunku: BLiczby \(x_1, x_2\) są różnymi rozwiązaniami równania \(x^2-7=0\). Wtedy wyrażenie \(|x_1-x_2|\) jest równe A.\( 0 \) B.\( \sqrt{7} \) C.\( -\sqrt{7} \) D.\( 2\sqrt{7} \) DLiczba \(x=2\) jest miejscem zerowym funkcji \(f(x)= mx^2-m-9\) dla A.\( m=1 \) B.\( m=2 \) C.\( m=3 \) D.\( m=4 \) CDla jakiego parametru \(m\) liczba \(x=1\) jest miejscem zerowym funkcji \(f(x)=2x^2+mx\)? A.\( m=-2 \) B.\( m=2 \) C.\( m=4 \) D.\( m=-4 \) ADane są funkcje liniowe \(f(x)=x-2\) oraz \(g(x)=x+4\) określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\) AWykres funkcji \(f(x)=x^2-2x-8,\) gdzie \(x \in \mathbb{R}\), przecina oś \(OX\) w punktach \(A\) i \(B\).Wyznacz współrzędne punktów \(A\) i \(B\).Oblicz pole trójkąta \(AWB\), jeśli \(W\) jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji \(f\).\(A=(-2,0)\), \(B=(4,0)\), \(P_{\Delta AWB}=27\)Wykaż, że jeżeli \(c\lt 0\), to trójmian kwadratowy \(y=x^2+bx+c\) ma dwa różne miejsca \(x_1\) oraz \(x_2\) są rozwiązaniami równania \(x^2 - 9 = 0\). Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\frac{x_1+x_2}{2}\).\(0\)Liczby \(x_1\) oraz \(x_2\) są rozwiązaniami równania \((x + 1)(2 - x) = 0\). Oblicz \({x_1}^2+x_1x_2+{x_2}^2\).\(3\)W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię \(240\) m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię \(350\) m2 oraz jest o \(5\) m dłuższy i \(2\) m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.\(8\times 30\) i \(10\times 35\) lub \(12\times 20\) i \(14\times 25\)Kolarz pokonał trasę \(114\) km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o \(9{,}5\) km/h, to pokonałby tę trasę w czasie o \(2\) godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.\(v=28{,}5\) km/hMiasto \(A\) i miasto \(B\) łączy linia kolejowa długości \(210\) km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o \(24\) km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o \(1\) godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.\(t=2{,}5\) hAdam rozwiązywał codziennie taką sama liczbę zadań i w sumie rozwiązał \(60\) zadań. Jeśli rozwiązywałby codziennie o \(6\) zadań więcej, to rozwiązałby te zadania o \(5\) dni krócej. Oblicz, przez ile dni Adam rozwiązywał zadania przed maturą i ile zadań rozwiązywał każdego \(10\) dni rozwiązywał po \(6\) czasie wakacji Marcin przejechał rowerem ze stałą prędkością odległość z miasteczka \(A\) do \(B\) liczącą \(120\) km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o \(5\) km/godz. większą, to przejechałby tę odległość w czasie o \(2\) godziny krótszym. Wyznacz średnią rzeczywistą prędkość Marcina i rzeczywisty czas przejazdu.\(v=15\) km/h, \(t=8\) hZ dwóch miast \(A\) i \(B\), odległych od siebie o \(18\) kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta \(A\) o jedną godzinę wcześniej niż drugi z miasta \(B\). Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaniu pierwszy turysta szedł do miasta \(B\) jeszcze \(1{,}5\) godziny, drugi zaś szedł jeszcze \(4\) godziny do miasta \(A\).\(v_1=4\) km/h, \(v_2=3\) km/hPewien turysta pokonał trasę \(112\) km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o \(3\) dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o \(12\) km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.\(28\) kmDwa pociągi towarowe wyjechały z miast \(A\) i \(B\) oddalonych od siebie o \(540\) km. Pociąg jadący z miasta \(A\) do miasta \(B\) wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta \(B\) do miasta \(A\) i jechał z prędkością o \(9\) km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie drogi. Oblicz z jakimi prędkościami jechały te pociągi.\(v_1=45\) km/h, \(v_2=54\) km/hW dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię \(240\) m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię \(350\) m2 oraz jest o \(5\) m dłuższy i o \(2\) m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz jakie wymiary ma pierwszy basen.\(20\) na \(12\) lub \(30\) na \(8\)Prostokątna działka ma powierzchnię \(300\) m2. Wiadomo, że jeden bok jest o \(5\) m dłuższy od drugiego. Ile kosztowało ogrodzenie tej działki, jeżeli za \(1\) m siatki właściciel zapłacił \(30\) zł?\(2100\) złWyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + 2(1 - m)x + m^2 - m = 0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\), \(x_2\) spełniające warunek \(x_1 \cdot x_2 \le 6m \le x_1^2 + x_2^2\) .\(m\in \langle 0;\ 3-\sqrt{7} \rangle \)Zbiorem wartości funkcji \(f(x) = -2(x + 3)(x - 4)\) jest przedział: A.\( \left ( -\infty , 24\frac{1}{2} \right \rangle \) B.\( \left \langle -24\frac{1}{2},+\infty \right ) \) C.\( \left \langle 24\frac{1}{2},+\infty \right ) \) D.\( \left \langle -25\frac{1}{2},+\infty \right ) \) A\( x_1 \) jest mniejszym, zaś \( x_2 \)większym miejscem zerowym funkcji \( f(x)=2x^2+10x+12 \). Wyrażenie \( x_2-x_1 \) ma wartość: A.\(-1 \) B.\(1 \) C.\(-2 \) D.\(2 \) BWykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku \(W = (5,7)\). Wówczas prawdziwa jest równość A.\( f(1)=f(9) \) B.\( f(1)=f(11) \) C.\( f(1)=f(13) \) D.\( f(1)=f(15) \) ANajmniejsza wartość funkcji \(f(x)=x^2-3x+1\) w przedziale \(\langle -1,3\rangle \) jest równa A.\( 5 \) B.\( \frac{3}{2} \) C.\( 1 \) D.\( -\frac{5}{4} \) DFunkcja kwadratowa określona jest wzorem \(f(x)=x^2+x+c\). Jeśli \(f(3)=4\), to A.\( f(1)=18 \) B.\( f(1)=6 \) C.\( f(1)=0 \) D.\( f(1)=-6 \) DOblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+3\) w przedziale \(\langle 0,4\rangle \).\(f_{max}=3\) oraz \(f_{min}=-6\)Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x) \gt 0\) jest przedział \((0,12)\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(9\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\) funkcji \(f\).\(a=-\frac{1}{4}\), \(b=3\), \(c=0\) Zobacz najważniejsze zadania do dotyczące własności funkcji kwadratowej i napisz sprawdzian na 5. Zadanie – sprawdzian. Mając funkcję kwadratową: \(y={{x}^{2}}+5x+6\) Wyznacz współczynniki a, b, c Odpowiedz, czy parabola jest skierowana ramionami do góry, czy do dołu Wyznacz deltę i odpowiedz, ile miejsc zerowych ma ta funkcja Wyznacz miejsca zerowe Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli Określ współrzędne przecięcia się paraboli z osiami X i Y Wyznacz wartość funkcji dla argumentu -5 Wykonaj wykres tej funkcji Sprawdź, czy punkt (1,3) należy do wykresu funkcji Określ przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od zera Dla jakich argumentów wartości funkcji są mniejsze od zera Dla jakich argumentów wartości funkcji są mniejsze od 6 Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołki tworzą punkty przecięcia się wykresu z osiami X i Y Zobacz na stronie Zobacz na YouTube 1) Wyznacz współczynniki a, b, c \[y={{x}^{2}}+5x+6\] a = 1, b = 5, c = 6 Współczynniki a, b, c są bardzo przydatne do obliczania delty. 2) Odpowiedz, czy parabola jest skierowana ramionami do góry, czy do dołu \(a>0 \) zatem parabola skierowana jest ramionami do góry. 3) Wyznacz deltę i odpowiedz, ile miejsc zerowych ma ta funkcja kwadratowa \(\Delta ={{b}^{2}}-4\cdot a\cdot c={{5}^{2}}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1\) delta jest dodatnia, więc mamy dwa pierwiastki rzeczywiste. 4) Wyznacz miejsca zerowe \[{{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2\cdot a}=\frac{-5-1}{2\cdot 1}=\frac{-6}{2}=-3\] \[{{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2\cdot a}=\frac{-5+1}{2\cdot 1}=\frac{-4}{2}=-2\] 5) Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli \[\begin{align} & a=1,\ b=5,\ c=6 \\ & \Delta =1\ (z\ \\ \end{align}\] \(W\ \left( p,q \right)\) współrzędne wierzchołka paraboli, gdzie \[p=\frac{-b}{2a}=\frac{-5}{2\cdot 1}=-2,5\] \[q=\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-1}{4\cdot 1}=-0,25\] \[W\ \left( -2,5\ ;\ -0,25 \right)\] 6) Określ współrzędne przecięcia się paraboli z osiami X i Y Współrzędne przecięcia z osią X to miejsca zerowe. Wiadomo, że funkcja w miejscu zerowym przyjmuje wartość zero, czyli y = 0. Zatem tutaj nie ma dużo roboty, ponieważ miejsca zerowe zostały wyznaczone w punkcie (4): \({{x}_{1}}=-3,\ {{x}_{2}}=-2\) Odp.:Współrzędne przecięcia paraboli z osią X: \(\left( -2,0 \right)\ i\ \left( -3,0 \right)\). Współrzędne przecięcia z osią Y mają zawsze współrzędną x = 0. Zatem do wzoru z niewiadomą x wstawiasz „0”. \[y={{x}^{2}}+5x+6\] \[y={{0}^{2}}+5\cdot 0+6=6\] Odp.:Współrzędna przecięcia paraboli z osią Y: (0, 6). 7) Wyznacz wartość funkcji dla argumentu -5 Należy w miejsce niewiadomej x wstawić liczbę „-5”. \[y={{\left( -5 \right)}^{2}}+5\cdot \left( -5 \right)+6\] \[y=25-25+6=6\] Odp.: Wartość funkcji dla argumentu -5 wynosi 6. Można to inaczej zapisać: f(-5) = 6. 8) Wykonaj wykres tej funkcji W tym punkcie bierzemy wybrane informacje obliczone na początku zadania. Miejsca zerowe: \(\left( -2,0 \right)\ i\ \left( -3,0 \right)\) Współrzędne wierzchołka paraboli: \(W\ \left( -2,5\ ;\ -0,25 \right)\) Nie jest to konieczne, ale dobrze również wyznaczyć punkt przecięcia wykresu z osią Y: (0, 6). Teraz rysujesz układ współrzędnych i zaznaczasz charakterystyczne punkty funkcji kwadratowej. 9) Sprawdź, czy punkt (1, 3) należy do wykresu funkcji Masz wzór funkcji \(y={{x}^{2}}+5x+6\) oraz x = 0, y = 3 ponieważ dany jest punkt o współrzędnych (1, 3). Zatem w miejsce x wstawiasz „0”, a za y wstawiasz „3”. \begin{align} & 3={{1}^{2}}+5\cdot 1+6 \\ & 3=1+5+6 \\ & 3\ne 12 \\ \end{align} Otrzymaliśmy sprzeczność, zatem punkt (1, 3) nie należy do wykresu funkcji kwadratowej. 10) Określ przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej Mam nadzieję, że zauważyłeś, iż parabola jest wykresem funkcji niemonotonicznej (tzw. monotonicznej przedziałami). W zadaniu wykorzystujemy wykres paraboli i współrzędne jej wierzchołka: \(W\ \left( -2,5\ ;\ -0,25 \right)\) Funkcja jest malejąca w przedziale: \(\left( -\infty ; \right.\left. -2,5 \right\rangle \) Funkcja jest rosnąca w przedziale: \(\left\langle -2,5; \right.\left. +\infty \right)\) 11) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od zera. W zadaniu x = ?, zaś y > 0. Zatem graficznie naszym rozwiązaniem są x-sy, których współrzędne y > 0, czyli leżą nad osią X. Wykorzystujemy rysunek paraboli z naszego zadania. Odp.: Dla \(x\in \left( -\infty ,-3 \right)\cup \left( -2,+\infty \right)\) 12) Dla jakich argumentów wartości funkcji są mniejsze od zera W zadaniu x = ?, zaś y < 0. Wykorzystujemy rysunek z punktu 11). Oczywiście tym razem należy zakreskować część wykresu znajdującą się pod osią X, ponieważ tylko tam istnieją współrzędne y < 0. Odp.: Dla \(x\in \left( -3,-2 \right)\) 13) Dla jakich argumentów wartości funkcji są mniejsze od 6 \[x=?,\quad y<6\] \[\begin{align} & y={{x}^{2}}+5x+6 \\ & {{x}^{2}}+5x+6<6 \\ & {{x}^{2}}+5x<0 \\ & x\left( x+5 \right)<0 \\ & {{x}_{1}}=0\quad {{x}_{2}}=-5 \\ \end{align}\] Odp.: Dla \(x\in \left( -5,0 \right)\) 14) Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołki tworzą punkty przecięcia się wykresu z osiami X i Y Korzystając z wykresu odczytujemy długość podstawy, którą jest odległość między miejscami zerowymi. Odczytujemy również wysokość trójkąta rozwartokątnego. \[P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{1\cdot 6}{2}=3\] Odp.: Pole trójkąta wynosi 3 jednostki kwadratowe. Zadanie – sprawdzian. Mając funkcję kwadratową \(y=-{{x}^{2}}+x+6\) Wyznacz współczynniki a, b, c Odpowiedz, czy parabola jest skierowana ramionami do góry, czy do dołu Wyznacz deltę i odpowiedz ile miejsc zerowych ma ta funkcja Wyznacz miejsca zerowe funkcji Wyznacz współrzędne wierzchołków paraboli Określ współrzędne punktów przecięcia się paraboli z osiami X i Y Wyznacz wartość funkcji dla argumentu \(-\frac{1}{10}\) Wykonaj wykres funkcji Sprawdź, czy punkt P (-1, 4) należy do wykresu funkcji Określ przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od zera Dla jakich argumentów wartości funkcji są mniejsze od zera Dla jakich argumentów wartości funkcji są nie większe od 4 Wyznacz współrzędne punktów przecięcia się danej funkcji kwadratowej \(y=-{{x}^{2}}+x+6\) z funkcją liniową \(y=-x+5\) Treść dostępna po opłaceniu abonamentu Ucz się matematyki już od 25 zł. Instrukcja premium Uzyskaj dostęp do całej strony Wesprzyj rozwój filmów matematycznych Zaloguj się lub Wykup Sprawdź Wykup Anuluj Pełny dostęp do zawartości na 15 dni za dostęp do zawartości na 30 dni za dostęp do zawartości na 45 dni za zł. Anuluj Zadanie – sprawdzian. Mając wzór funkcji \(y=-{{x}^{2}}+8 x-12\) Podaj dziedzinę funkcji Podaj miejsca zerowe funkcji (jeśli istnieją) Wyznacz wierzchołek paraboli Podaj współrzędne punktów przecięcia się wykresu z osią X i Y Wykonaj wykres funkcji Podaj najmniejszą i największa wartość funkcji (jeśli istnieje) Podaj zbiór wartości funkcji Wyznacz przedziały monotoniczności Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości mniejsze od -8 Treść dostępna po opłaceniu abonamentu.